今度は波動方程式だ!!
ChatGPTを用いて、量子力学の井戸型ポテンシャルの問題を解いてもらおうとしました。
量子力学において、シュレディンガーの波動方程式は、次のように書けることを大学３年生くらいで習いました。
これを時間成分がなく、一次元で書くと次のように簡略化されます。
そこで、井戸型ポテンシャルの内と外の波動方程式は次のように書けます。
井戸の内側（V（ｘ）＝０）
井戸の外側（V（x）＝V0＜０）
そこで、ChatGPTに次のようにお願いしました。
「有限の深さの井戸ポテンシャルでの波動関数の染み出しを考えたいです。境界で波動関数は滑らかにつながらないといけないと思います。これを確率密度に着目して計算をしてグラフを描きたいと考えます。深さーV0、長さ -a～＋aです。もちろん計算ではV0やaに適当な数字を入れてもらっていいです。エネルギー順位は、n=1, 2, 3, 4, 5 といったところでしょうか？」
そこで、ChatGPTが
「了解しました。有限の深さV0と長さ2aの井戸ポテンシャルにおけるシュレディンガーの波動方程式を考え、エネルギー準位n=1, 2, 3, 4, 5に対する波動関数と確率密度を計算してグラフに描いてみましょう。
この計算では、井戸の内部（-a < x < a）と外部（|x| > a）で波動方程式の形が異なります。エネルギー準位に応じて、これらの領域での波動関数の解を求め、境界条件を用いて解をつなぎ合わせます。
まずは、具体的な数値を設定しましょう。深さV0と長さaに適当な値を設定して計算を進めます。計算の結果、各エネルギー準位に対する波動関数と確率密度のグラフを描くことができます。それでは、計算を始めてみましょう。」
描いてくれたのが次のグラフです。
このグラフを見て、次のように質問しました。
「n=3, 4, 5について、ｘが-1以下と+1以上の範囲のグラフが描かれてないこと、n＝2のとき、境界が滑らかに接続されていないことが気になります。改善の余地はありますか？」
ChatGPTは、何回かエラーを起こして、次のように答えてくれました。
「再度数値計算を試みましたが、残念ながらエラーが発生し、期待通りの結果を得ることができませんでした。この問題は、波動関数の連続性条件を適切に組み込む際の数値的な複雑さに起因する可能性が高いです。
このような複雑な系において、数値計算の安定性を確保することは非常に重要ですが、同時に難しい場合もあります。計算の安定性を改善するためには、以下のようなアプローチが考えられます：
- 計算手法の見直し：異なる数値解法を用いることで、計算の安定性を向上させることができる場合があります。例えば、より高度な数値解析手法や、異なるアルゴリズムを試すことが考えられます。
- パラメータの調整：井戸の深さや幅などのパラメータを変更し、計算の安定性に影響を与える可能性がある要因を特定することも一つの方法です。
- 専門的なソフトウェアの利用：より専門的な物理学や数値計算に特化したソフトウェアを使用することで、より精度の高い結果を得ることが可能です。
現在の環境ではこれ以上の計算の改善が難しいため、これらのアプローチは専門的な物理学や数値解析の知識を持つ専門家、または適切なソフトウェアを使用して実行することをお勧めします。 」
なるほど、早い話が、ChatGPTでも難しいのね!? ということで、本日のお話は、ここでおしまいです (*´з`)